+
Математика Петербурга в исторической ретроспективе и в лицах
стр.7-14
Рецензия на книгу «Математический Петербург. История, наука, достопримечательно-
сти: Справочник-путеводитель / Ред.-сост. Г. И. Синкевич, науч. ред. А. И. Назаров. —
СПб.: Образовательные проекты, 2018. — 336 с.». Книга посвящена историческому разви-
тию и современному состоянию математической жизни Санкт-Петербурга с XVIII в. до
настоящего времени. Речь идёт о научной и учебной деятельности в академических инсти-
тутах, университете и других вузах города, о работе Математического общества, архивов
и библиотек, о работе с талантливыми детьми в специализированных школах, о матема-
тических олимпиадах.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Об оценке меры иррациональности чисел вида √ 4? + 3 ln √ √4?+3+1 4?+3−1 и √1 ? arctg √1 ? 1
стр.15-29
Башмакова М. Г., Золотухина Е. С.
Арифметические свойства значений гипергеометрической функции изучались различ-
ными методами, начиная с работы К. Зигеля 1929 г.. Это направление теории диофантовых
приближений исследовалось такими авторами как М. Хата [1]-[2], Ф. Аморозо и К. Виола
[3], А. Хеймонен, В. Матала-Ахо и К. Ваананен [4]-[5] и многими другими. В последние
десятилетия был получен ряд интересных результатов в этой области, усилено много ранее
известных оценок меры иррациональности, как для значений гипергеометрической функ-
ции, так и для других величин.
В настоящее время одним из широко применяемых подходов при построении оценок
показателя иррациональности является использование интегральных конструкций, сим-
метричных относительно какой-либо замены параметров. Симметризованные интегралы
и ранее использовались разными авторами, например, в работе Дж. Рина [6], но наиболее
активное развитие это направление приобрело после работы В. Х. Салихова [7], полу-
чившего с помощью симметризованного интеграла новую оценку для ln 3. Впоследствии
симметричность различного типа позволила доказать ряд значимых результатов. Были
получены новые оценки для некоторых значений логарифмической функции, функции
arctg ?, классических констант (см., например, [8] – [18]). В 2014 г., используя общие сим-
метризованные многочлены первой степени вида ??−?, где ? = (?−?)2, К. Ву и Л. Ванг
усилили результат В. Х. Салихова о мере иррациональности ln 3 (см.[19]). В работе [20]
идея симметричности была применена к интегралу Р. Марковеккио, доказавшего ранее
новую оценку для ln 2 в [21], что позволило улучшить результат для ?/3.
Данная статья является продолжением работы [22], обобщающей результаты для двух
типов симметричных интегральных конструкций. Первая позволяет более эффективно
оценить показатели иррациональности чисел вида
√
? ln
√
√?+1
?−1
при ? = 22?+1, ? = 4?+1 для
некоторых ? ∈ N (см. [22]). Используя данный интеграл, также можно получить оценки
меры иррациональности чисел
√
4? + 3 ln
√
√4?+3+1
4?+3−1
, ? ∈ N. Вторая рассматриваемая ин-
тегральная конструкция дает возможность оценивать меру иррациональности некоторых
значений логарифмической функции, используя симметричность другого типа, что было
подробно рассмотрено в [22]. Данный интеграл позволяет также оценивать меру иррацио-
нальности значений √1
?
arctg √1
?
. Обобщение этого случая предлагается в данной работе.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Об истории метода неподвижной точки и вкладе советских математиков (1920-е-1950-е гг.)
стр.30-55
Цель. Целью работы является изучение вклада отечественных математиков (В.В.
Немыцкого, А.Н. Тихонова, А.А. Маркова, М.Г. Крейна, В.Л. Шмульяна и др.) в раз-
витие метода неподвижной точки в бесконечномерном пространстве за период с начала
1920-х гг. до конца 1950-х гг.
Метод. Исследование основано на анализе оригинальных работ перечисленных учёных
в контексте общемирового процесса развития нелинейного функционального анализа на
фоне достижений американских (Дж. Биркгофа, О. Келлога), польских (С. Банаха, С.
Мазура, Ю. Шаудера, К. Борсука и др.), итальянских (Р. Каччиополи), французских (Ж.
Лере) и немецких (Э. Роте) математиков.
Результат. Вклад советских учёных в области метода неподвижной точки оказался
сопоставимым с вкладом остальной части мирового математического сообщества в рас-
сматриваемый период. Это подтверждается как количеством доказанных теорем о непо-
движной точке, так и их качеством. Благодаря усилиям советского математика М.А. Крас-
носельского, с середины 1950-х гг. метод неподвижной точки приобрёл своё значение, как
общий метод для решения широкого класса задач качественного характера, относящихся к
анализу нелинейных операторных уравнений (до указанного времени обсуждаемый метод
рассматривался, только как инструмент для доказательства разрешимости абстрактных
аналогов нелинейных интегральных или дифференциальных уравнений и их систем).
Обсуждение. Анализ достижений в области метода неподвижной точки в мировом
контексте показал, что развитие нелинейного функционального анализа (как, впрочем, и
любого другого раздела математики) есть процесс наднациональный, который осуществ-
ляется услилиями математиков из разных стран. Этот процесс выходит за рамки любой
научной школы, какой бы крупной она не была.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
О некоторых фибономиальных тождествах
стр.56-66
Фибиномиальное тождество — это тождество, сочетающее числа Фибоначчи с биноми-
альными или мультиномиальными коэффициентами. В этой статье для получение новых
фибиномиальных тождеств мы используем семейства определителей и перманентов ниж-
них матриц Хессенберга специального вида (так называемых матриц Теплица-Хессенберга,
т.е. матриц порядка ? × ? вида ?? = (ℎ??), где ℎ?? = 0 для всех ? > ? + 1, ℎ?? = ??−?+1
и ??,?+1 = 2), элементами которых являются числа Фибоначчи ?? с последовательными,
четными и нечетными индексами.
Полученные формулы для детерминантов и перманентов могут быть записаны как
тождества, включающие суммы произведений чисел Фибоначчи и мультиномиальные ко-
эффициенты. Например, для всех ? ≥ 1 имеет место тождество
Σ︁
?1+2?2+···+???=?
(−1)?1+···+??
(︂
?1 + · · · + ??
?1, . . . , ??
)︂(︂
?2
2
)︂?1 (︂
?4
2
)︂?2
· · ·
(︂
?2?
2
)︂??
=
1 − 4?
3 · 2? ,
где
(︀?1+···+??
?1,...,??
)︀
= (?1+···+??)!
?1!···??! – мультиномиальный коэффмцмент, а суммирование произво-
дится по всем целым ?? ≥ 0, удовлетворяющих уравнению ?1 + 2?2 + · · · + ??? = ?.
Использование определителей матриц Теплица-Гессенберга позволило нам, в частно-
сти, получить формулы, устанавливающие связь между числами Фибоначчи и числами
Якобсталя, Пелля, Пелля-Люка.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Константы Никольского в пространствах ??(R, |?|2?+1 ??)
стр.67-79
Горбачев Д. В., Добровольский Н. Н.
Недавно Арестов, Бабенко, Дейкалова и Horv´ath установили ряд интересных результа-
тов относительно точной константы Никольского ℒeven(?, ?) в весовом неравенстве
sup
?∈[0,∞)
|?(?)| 6 ℒeven(?, ?)?(2?+2)/?
(︂
2
∫︁ ∞
0
|?(?)|??2?+1 ??
)︂1/?
для подпространства ℰ? ∩ ??(R+, ?2?+1 ??) четных целых функций ? экспоненциального
типа не больше ? > 0, где 1 6 ? < ∞ и ? > −1/2.
Мы доказываем, что при тех же ? и ?
ℒeven(?, ?) = ℒ(?, ?),
где ℒ(?, ?) — точная константа в неравенстве Никольского
sup
?∈R
|?(?)| 6 ℒ(?, ?)?(2?+2)/?
(︂∫︁
R
|?(?)|?|?|2?+1 ??
)︂1/?
для произвольных (не обязательно четных) функций ? ∈ ℰ?
?,? := ℰ? ∩ ??(R, |?|2?+1 ??).
Также мы даем границы для нормализованной константы Никольского
ℒ*(?, ?) := (22?+2Γ(? + 1)Γ(? + 2))1/?ℒ(?, ?),
которые имеют следующий вид:
ℒ*(?, ?) 6 ⌈?/2⌉
2?+2
? , ? ∈ (0,∞),
и для фиксированного ? ∈ [1,∞)
ℒ*(?, ?) > (?/2)
2?+2
? (1+?(1)), ? → ∞.
Верхняя оценка точная тогда и только тогда, когда ? = 2. В этом случае ℒ*(?, 2) = 1 для
каждого ? > −1/2.
Наш подход опирается на одномерный гармонический анализ Данкля. В частности, для
доказательства равенства ℒeven(?, ?) = ℒ(?, ?) применяется четный положительный опе-
ратор обобщенного сдвига Данкля ??, который ограничен в ??(R, |?|2?+1 ??) с константой 1
и инвариантен на подпространстве ℰ?
?,?. Доказательство верхней оценки константы ℒ*(?, ?) основано на оценке норм воспро-
изводящего ядра подпространства ℰ1
?,? и мультипликативном неравенстве для константы
Никольского. Для получения нижней асимптотической оценки мы рассматриваем норми-
рованную функцию Бесселя ?? ∈ ℰ1
?,? порядка ? ∼ (2? + 2)/?.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
О взаимосвязи констант Никольского для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа
стр.80-89
Горбачев Д. В., Мартьянов И. А.
Для 0 < ? < ∞ мы изучаем взаимосвязь между константой Никольского для тригоно-
метрических полиномов порядка не больше ?
?(?, ?) = sup
??̸=0
‖??‖∞
‖??‖?
и константой Никольского для целых функций экспоненциального типа не больше 1
ℒ(?) = sup
?̸=0
‖?‖∞
‖?‖?
.
Недавно Е. Левин и Д. Любинский доказали, что
?(?, ?) = ℒ(?)?1/?(1 + ?(1)), ? → ∞.
М. Ганзбург и С. Тихонов обобщили этот результат на случай констант Никольского–
Бернштейна.
Мы доказываем неравенства
?1/?ℒ(?) 6 ?(?, ?) 6 (? + ⌈?−1⌉)1/?ℒ(?), ? ∈ Z+, 0 < ? < ∞,
которые уточняют результат Левина и Любинского. Доказательство следует нашему ста-
рому подходу, основанному на свойствах интегрального ядра Фейера. С помощью этого
подхода ранее были доказаны оценки при ? = 1
?ℒ(1) 6 ?(?, 1) 6 (? + 1)ℒ(1).
Данные неравенства позволяют оценить константу ℒ(?), приближенно вычисляя ?(?, ?)
для больших ?. Чтобы это сделать мы используем недавние результаты В.В. Арестова и
М.В. Дейкаловой, которые выразили константу Никольского ?(?, ?) при помощи алгеб-
раического полинома ??, наименее уклоняющегося от нуля в пространстве ?? на отрезке
[−1, 1] с весом (1 − ?)?(?), где ?(?) = (1 − ?2)−1/2 — вес Чебышева. Как следствие, мы
уточняем оценки для константы Никольского ℒ(1) и находим, что
1.081 < 2?ℒ(1) < 1.082.
Для сравнения предыдущие оценки были 1.081 < 2?ℒ(1) < 1.098.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Об условии удвоения для положительно определенных функций на полуоси со степенным весом
стр.90-100
Горбачев Д. В., Иванов В. И.
Непрерывные неотрицательные положительно определенные функции удовлетворяют
следующему свойству:
∫︁ ?
−?
?(?) ?? 6 ?(?)
∫︁ 1
−1
?(?) ??, ? > 1, (*)
где наименьшая положительная константа ?(?) не зависит от ?. При ? = 2 это свойство
хорошо известно как условие удвоения в нуле. Данные неравенства имеют приложения в
теории чисел.
В одномерном случае неравенство (*) изучалось Б.Ф. Логаном (1988), а также недавно
А. Ефимовым, М. Гаалом и Сц. Ревешем (2017). Было доказано, что 2?−1 6 ?(?) 6 2?+1
для ? = 2, 3, . . ., откуда следует, что ?(?) ∼ 2?. Вопрос о точных константах здесь открыт.
Многомерный вариант неравенства (*) для евклидова пространства R? исследовался
Д.В. Горбачевым и С.Ю. Тихоновым (2018). В частности доказано, что для непрерывных
положительно определенных функций ? : R? → R+
∫︁
|?|6?
?(?) ?? 6 ????
∫︁
|?|61
?(?) ??,
где ?? 6 2?? ln ? (1 + ?(1))(1 + ?−1)? при ? → ∞. Отсюда на радиальных функциях полу-
чаем одномерное весовое неравенство
∫︁ ?
0
?(?)??−1 ?? 6 ????
∫︁ 1
0
?(?)??−1 ??, ? ∈ N.
Мы изучаем следующее естественное весовое обобщение данных неравенств:
∫︁ ?
0
?(?)?2?+1 ?? 6 ??(?)
∫︁ 1
0
?(?)?2?+1 ??, ? > −1/2,
где ? : R+ → R+ — произвольная четная непрерывная положительно определенная функ-
ция относительно веса ?2?+1. Это понятие было введено Б.М. Левитаном (1951) и означает,
что для произвольных ?1, . . . , ?? ∈ R+ матрица (???
? ?(??))?
?,?=1 неотрицательно опреде-
ленная. Здесь ???
— оператор обобщенного сдвига Бесселя–Гегенбауэра. Левитан доказал аналог классической теоремы Бохнера для таких функций, согласно которому ? имеет
неотрицательное преобразование Ганкеля (в смысле меры).
Мы доказываем, что для каждого ? > −1/2
?1(?)?2?+2 6 ??(?) 6 ?2(?)?2?+2, ? > 1.
Нижняя оценка тривиально достигается на функции ?(?) = 1. Для доказательства верхней
оценки мы применяем нижние оценки сумм вида
Σ︀?
?=1 ??????(?), где ? — характеристи-
ческая функция отрезка [0, 1], а также свойства свертки Бесселя.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
О повышении точности вычисления потенциала в системе взаимодействующих атомов
стр.101-110
Заводинский В. Г., Горкуша О. А.
Мы предлагаем высокоточный метод вычисления потенциала для многоатомной си-
стемы в прямом пространстве. Отличительная особенность метода состоит в разделении
электронной плотности ? и потенциала ? на две части: ? = ?0 + ̂︀?, ? = ?0 + ̂︀?, где ?0 —
сумма сферических атомных плотностей, ̂︀? — результат взаимодействия атомов в много-
атомной системе; потенциал ?0 порождается плотностью ?0, потенциал ̂︀?, порожденный
плотностью ̂︀?, в нашей работе находится путем решения уравнения Пуассона.
Для нахождения граничных условий применяется мультипольное разложение потен-
циала. Для обеспечения высокой точности мы разделяем расчетное пространство на мно-
гогранники Вороного и применяем асимптотические оценки итераций при замене харак-
теристической функции гладкими приближениями. Для численного решения уравнения
Пуассона мы используем двух– сеточный метод и Фурье– преобразование на этапе началь-
ной итерации.
Мы получили теоретические оценки точности метода ?(ℎ?−1), где ℎ — шаг сетки, ? —
фиксированное число, большее 1.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Квазигруппы и их приложения
стр.111-122
В работе приводится обзор результатов, полученных в ходе работы по теме 0АААА-
А16-116070810025-5 и по завершившемуся совместному проекту с индийскими алгебра-
истами С. Чакрабарти, С. Гангопапдуем, С. Палом. В работе приняли участие российские
алгебраисты В.Т. Марков и А.Е. Панкратьев.
Цель работы состоит в изучении алгебраических свойств конечных полиномиально
полных квазигрупп, проблемы их расознавания по латинскому квадрату и в построении
полиномиально полных квазигрупп квазигрупп достаточно большого порядка. Кроме то-
го, нас интересуют полиномиально полные квазигруппы без подквазигрупп. Приведены
достаточные условия полиномиально полноты квазигруппы ? в терминах группы ?(?).
Например, достаточно, чтобы ?(?) действовала дважды транзитивно на ?. Отмечено по-
ведение ?(?) при изотопиях. Показано что любую конечную квазигруппу можно вложить
в полиномиально полную. Рассмотрена конструкция бипроизведения квазигрупп. Резуль-
таты применяются для защиты информации.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
О количестве простых элементов в некоторых моноидах натуральных чисел
стр.123-141
Добровольский Н. Н., Калинина А. О., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М.
В работе исследуется вопрос о числе простых элементов в моноиде ??,1, состоящем
из натуральных чисел сравнимых с 1 по модулю ?. При ? > 2 моноид ??,1 не яв-
ляется моноидом с однозначным разложением на простые элементы, так как наряду с
обычными простыми числами, которые сравнимы с 1 по модулю ?, в число простых эле-
ментов попадают псевдопростые числа, которые являются составными числами. Случай
? = 3, 4, 6 выделяется из числа других тем, что псевдопростые числа являются произве-
дением двух простых чисел сравнимых с ? − 1 по модулю ?. Таким образом, для мно-
жества простых элементов ?(??,1) моноида ??,1 в этом случае справедливо равенство
?(??,1) = P?,1
⋃︀
(P?,?−1 · P?,?−1).
Так как моноид ??,1 не имеет однозначности разложения на простые элементы, то
дзета-функция
?(??,1|?) =
Σ︁
?∈??,1
1
??
моноида ??,1 не равна эйлерову произведению
?(??,1|?) =
Π︁
?∈?(??,1)
(︂
1 −
1
??
)︂−1
.
Поэтому, изучение распределения простых элементов в моноиде ??,1 с помощью аналити-
ческих свойств логарифмической производной дзета-функции моноида не представляется
возможным.
Для полноты изложения сначала в работе изучается вопрос о количестве составных
чисел, равных произведению двух простых чисел, с помощью неравенств Чебышёва, так
как в этом году исполнилось 170 лет со дня выхода первого мемуара П. Л. Чебышёва о
простых числах. Затем с помощью неравенства Бруна-Титчмарша получена верхняя оценка количества
составных чисел сравнимых с 1 по модулю ? и равных произведению двух простых чисел.
Подход, применённый к общему случаю, затем переносится на случай простых элемен-
тов в моноидах ??,1 при ? = 3, 4, 6.
В заключение рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натураль-
ных чисел, требующие дальнейшего исследования.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Дзета-функция моноидов с заданной абсциссой абсолютной сходимости
стр.142-150
В работе продолжено рассмотрение нового класса рядово Дирихле — дзета-функции
моноидов натуральных чисел. Основной задачей, решаемой в данной статье, является по-
строение моноида натуральных чисел, для которого дзета-функция этого моноида имеет
заданную абсциссу абсолютной сходимости.
Ранее автор решил аналогичную задачу построения множества натуральных чисел, для
которого соответствующая дзета-функция имеет заданную абсциссу абсолютной сходимо-
сти.
Для решения задачи для дзета-функции моноида натуральных чисел возникают опре-
деленные трудности, связанные с необходимостью построения последовательности про-
стых чисел, удовлетворяющих определенным требованиям на рост членов.
Было введено понятие ?-последовательности P? простых чисел, члены которой удовле-
творяют неравенству ?? 6 ?? < (? + 1)?.
С помощью теоремы Ингама с кубическим ростом простых чисел удалось построить
?-последовательность простых чисел для любого ? > 3. Для соответствующей дзета-
функции моноида, порожденного данной ?-последовательностью простых, абсцисса абсо-
лютной сходимости равна 1
? . Таким образом, с помощью теоремы Ингама удалось решить
проблему для значений абсциссы абсолютной сходимости от 0 до 1
3 . Для таких моноидов
удается получить асимптотическую формулу для функции распределения простых чисел
?P? (?): ?P? (?) = ?
1
? + ?(?), где −2 < ?(?) < −1.
Для доказательства существования моноида натуральных чисел, для дзета-функции
которого значение абсциссы абсолютной сходимости от 1
3 до 1, потребовалось использовать
теорему Россера о простых числах. Для этого было введено понятие ?-последовательности
второго рода.
В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натураль-
ных чисел, требующие дальнейшего исследования
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
О некоторых комбинаторных свойствах деревьев процессов LINUX
стр.151-162
В работе рассматривается структура данных - дерево процессов Linux, возникающая
вследствие иерархической схемы порождения процессов в Unix-подобных операционных
системах. Целью исследования является выделение свойств деревьев процессов Linux, поз-
воляющие заключить о применимых методах анализа таких деревьев, с целью решения
задачи сохранения и восстановления состояний исполняемых сред операционной системы
Unix-подобных операционных систем.
Формулируется обратная дискретная задача восстановления цепочек системных вызо-
вов, порождающих некоторое дерево процессов, а также ряд ограничений на вид систем-
ного вызова и утверждение о существовании решения, заключающее корректность ввода.
Приводятся комбинаторные оценки общего количества деревьев при порождении систем-
ным вызовом fork, вводится поправка на различимость идентификаторов.
Осуществляется обоснование возможности индексирования деревьев по узлам, благода-
ря образованию некорневыми идентификаторами симметрической группы. Таким образом,
доказывается функциональная эквивалентность автоморфных деревьев с перестановками
некорневых идентификаторов. Демонстрируется комбинаторный взрыв числа функцио-
нально различных деревьев при добавлении нового системного вызова. Ввиду приведённых
оценок, проводится заключение о неэффективности восстановления деревьев процессов
перебором или прямым поиском, предлагается идея построения некоторых восстанавлива-
ющих математических формализмов, учитывающих структуру задачи.
Далее рассматривается свойство наследования атрибутов в дереве процессов, позволя-
ющее локализовать область поиска нужного атрибута при проверке применимости прави-
ла системного вызова, таким образом снизив количество проверок. Заключается свойство
сегментации дерева процессов Linux. На базе приведённых свойств формулируется заклю-
чение о целесообразности построения решения задачи восстановления цепочек системных
вызовов, восстанавливающих дерево процессов, на базе теории формальных языков и грам-
матик, используя формализмы класса мягко-контекстно-зависимых. Приводятся обзорно
альтернативные способы решения задачи.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Свойства уравнений теории пластичности дилатирующих материалов в концепции пластического газа
стр.163-171
Макаров Э. С., Журавлев Г. М., Гвоздев А. Е., Сапожников С. В., Сергеев А. Н.
В работе исследуются свойства уравнений, которые используются при расчете пласти-
ческого формоизменения дилатирующих материалов (порошков сталей, чистых металлов,
цветных сплавов) в концепции пластического газа. Приведена полная система основных
уравнений теории течения жесткопластических изотропных дилатирующих сред. Рассмат-
ривается частный случай плоской деформации, для медленного установившегося пласти-
ческого течения, вследствие чего начальные условия при решении задачи не формулиру-
ются. Учитывая, что сплошная среда при нагружении изменяет свою плотность, задается
закон объемной сжимаемости, и привлекается условие пластичности, которые взаимно удо-
влетворяются. Для уравнений равновесия, неразрывности и соотношения коаксиальности
девиаторов построена система уравнений, дано её аналитическое решение. Выписаны для
случая плоской деформации изотропной дилатирующей среды, наделенной свойствами
пластического газа, граничные условия для напряжений, плотностей и скоростей.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
О приближении действительных чисел суммами квадратов простых чисел
стр.172-182
В статье доказано, что к заданному действительному числу ? > ?0(?) можно подойти
суммой квадратов трех простых чисел на расстояние не большее, чем ? = ?217/768+? и
можно подойти суммой четырех квадратов простых чисел на расстояние не большее, чем
? = ?1519/9216+?, где ? – произвольное положительное число.
Данные результаты получены при помощи плотностной техники, разра-
ботанной Ю.В. Линником в 1940-х годах. Плотностная техника основана на применении
явных формул, выражающих суммы по простым числам, через суммы по нетривиальным
нулям дзета-функции Римана и использовании плотностных теорем – оценок количества
нетривиальных нулей дзета-функции, лежащих в критической полосе и таких, что их ре-
альная часть больше некоторого ?, где 1 > ? ≥ 1/2.
Содержащиеся в статье результаты основаны на применении современных плотностных
теорем, полученных А. Ивичем. Кроме того, при доказательстве была использована тео-
рема Бейкера, Хармана, Пинтца: к заданному действительному числу ? > ?0(?) можно
подойти простым числом на расстояние не большее, чем ? = ?21/40+?. Также использо-
ван результат полученный ранее автором: к заданному действительному числу ? > ?0(?)
можно подойти суммой квадратов двух простых чисел на расстояние не большее, чем
? = ?31/64+?.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Идентификация неоднородных характеристик преднапряженных пироматериалов
стр.183-198
Ватульян А. О., Нестеров С. А.
Функционально-градиентные пироматериалы находят широкое применение при созда-
нии различных диагностических приборов. Для правильного расчета устройств, использу-
ющих пироэффект, необходимо знание материальных характеристик. В случае неоднород-
ных предварительно-напряженных тел прямые измерения материальных характеристик
невозможны, поскольку они представляют собой некоторые функции координат. Нахож-
дение характеристик неоднородных пироматериалов возможно только на основе аппарата
коэффициентных обратных задач термоэлектроупругости (КОЗТ), который практически
не разработан. В работе приведена постановка обратной задачи термоэлектроупругости
для предварительно-напряженного функционально-градиентного стержня. Для этого на
основе подхода, предложенного Гузем А.Н. для упругих тел, были получены уравнения
термоэлектроупругости для предварительно-напряженного стержня. Проведено обезраз-
меривание задачи. Получена слабая постановка прямой задачи термоэлектроупругости.
На основе слабой постановки и метода линеаризации получены операторные уравнения
для решения обратной задачи на основе итерационного процесса. В ходе итерационного
процесса поправки к восстанавливаемым характеристикам термоэлектроупругого стержня
определялись из решения интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода. Прямая зада-
ча решалась на основе метода сведения к системе интегральных уравнений Фредгольма
2-го рода в трансформантах по Лапласу и использовании процедуры обращении, реализу-
емой в соответствии с теорией вычетов Проведена серия вычислительных экспериментов
по восстановлению характеристик, изменение которых оказывает существенное влияние
на дополнительную информацию. В вычислительных экспериментах восстанавливалась
одна из характеристик термоэлектроупругого стержня при известных остальных. Даны
практические рекомендации по выбору наиболее информативных временных интервалов
для измерения входной информации. Выяснено, что появление начальных напряжений
существенно влияет на результаты реконструкции характеристик стержня.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием, расположенном вблизи плоскости
стр.199-216
В статье рассматривается задача дифракции плоской звуковой волны на однородном
упругом шаре с радиально-неоднородным упругим покрытием, находящемся вблизи плос-
кости. Полагается, что тело помещено в идеальную жидкость, подстилающая плоская по-
верхность является абсолютно жесткой или абсолютно мягкой, законы неоднородности
материала покрытия описываются непрерывными функциями.
Задача сведена к задаче дифракции на двух телах. Согласно методу мнимых источ-
ников граница раздела сред заменена на зеркально отображенный мнимый шар, находя-
щийся в поле двух плоских волн. Получено аналитическое решение задачи дифракции
плоской звуковой волны на двух одинаковых однородных упругих шарах с радиально-
неоднородными покрытиями, находящихся в безграничной идеальной жидкости. Для ре-
шения задачи использована теорема сложения для сферических волновых функций. Полу-
чено аналитическое описание волновых полей в содержащей среде и однородных упругих
телах в виде разложений по сферическим функциям, а для нахождения полей смещений
в неоднородных покрытиях шаров построена краевая задача для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка. На основе решения задачи дифракции
плоской волны на двух телах записано решение дифракционной задачи в случае рассея-
ния второй плоской волны. Путем суммирования результатов решения двух дифракцион-
ных задач получено аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны
на упругом шаре с покрытием, находящемся вблизи плоской поверхности.
С помощью непрерывно-неоднородных упругих покрытий можно эффективно изменять
характеристики рассеяния тел в определенных направлениях, если подобрать соответству-
ющие законы неоднородности для механических параметров покрытия.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Прямые и обратные задачи реконструкции операторов эволюции в анализе динамики многомерных процессов
стр.217-233
Краснов А. Е., Надеждин Е. Н., Никольский Д. Н., Галяев В. С.
Физические процессы рассеяния электромагнитных волн и процессы порождения ано-
малий при передаче информации в сетевых каналах связи рассмотрены с единых позиций
преобразований многомерных потоков данных соответствующими операторами эволюции,
действующими как проекционные операторы. Основанием работы послужили результаты
исследований одного из авторов, посвященные задачам синтеза объемных голографиче-
ских фильтров для обработки когерентных оптических сигналов, задачам локации объек-
тов, движущихся в неоднородной среде, а также результаты совместных работ авторов в
области защиты информации, передаваемой по каналам связи. В настоящей работе дела-
ется определенное обобщение результатов данных исследований. Так, поставлена и решена
прямая задача реконструкции стационарного оператора эволюции, описывающего упругое
рассеяние когерентного электромагнитного поля на пространственных неоднородностях
стационарной среды. Показано, что с точностью до малых помех, пропорциональных дис-
персии неоднородностей среды, оператор эволюции представляется в виде проекционного
оператора или активного фильтра угловых (пространственных) частот поля. На основании
полученных результатов неупругое рассеяние нестационарного электромагнитного поля в
нестационарной среде рассматривается как его преобразование нестационарным операто-
ром эволюции, также имеющим вид проекционного оператора или активного фильтра, нопреобразующего временные частоты поля. По аналогии с задачами рассеяния оператор
эволюции в виде проекционного оператора, реконструируемого по наблюдаемым сетевым
информационным потокам данных, применяется к описанию процессов порождения ано-
малий при передаче информации в каналах связи. Оператор эволюции используется для
формирования специальных статистик многомерного процесса, которые возможно исполь-
зовать для его последовательного статистического анализа и классификации. Приводятся
примеры практического использования этих статистик для обнаружения и классификации
аномалий сетевого трафика. В частности, проведен вычислительный эксперимент по фор-
мированию статистических распределений значений информативных признаков реального
трафика и классификации на их основе различных типов сетевых атак. Результатом экспе-
риментальных исследований стало подтверждение эффективности метода реконструкции
оператора эволюции сетевого трафика.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
К вопросу оптимизации программного обеспечения моделирования характеристик материалов, получаемых при использовании аддитивных технологий
стр.234-247
Привалов А. Н., Богатырева Ю. И.
В статье рассмотрены некоторые аспекты проблемы разработки математического, ал-
горитмического и программного аппарата моделирования характеристик вновь создавае-
мых материалов, изготовленных с применением аддитивных технологий. Показана акту-
альность разработки методики подхода к компьютерному моделированию, объединенной
общей идеологией многомасштабного моделирования и технологиями параллельных вы-
числений, обмена и обработки входных и выходных данных.
Сделан вывод о целесообразности применения при моделировании процессов для оцен-
ки напряженно-деформируемого состояния изделия полученного с использованием наи-
более перспективной и активно внедряемой в настоящий момент аддитивной технологии
селективного лазерного спекания целесообразно применять экспериментальный стенд на
основе специализированного вычислительного кластера.
В статье предложен подход к оптимизации программной среды экспериментального
стенда для оценки напряженно-деформируемого состояния изделия полученного с исполь-
зованием аддитивных технологий. Сформулирована задача проектирования оптимального
состава программного обеспечения информационно- измерительного стенда с применением
сетей Петри–Маркова. Предложено для ее решения использовать метод целенаправленно-
го выбора. Разработана методика целенаправленного проектирования оптимального соста-
ва программного обеспечения как систем массового обслуживания. Рассмотрено решение
экспериментального нахождения эффективных физико-механических свойств материалов,
изготовленных с применением аддитивных технологий.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Параллельные полумарковские процессы в задачах группового управления объектами
стр.248-258
Привалов А. Н., Ларкин Е. В.
Исследуется функционирование сложных объектов, управляемых ЭВМ. Показано, что
абстрактным аналогом функционирования каждого контура управления является орди-
нарный полумарковский процесс. Указанной абстракции недостаточно для аналитическо-
го моделирования объекта в целом, поэтому для описания синхронизационных процес-
сов необходима более сложная модель, которая получается интегрированием ординарных
процессов в комплексный полумарковский процесс. Для определения подобной абстрак-
ции введен термин «функциональные состояния», которые получаются как все возможные
комбинации структурных состояний. Предложен метод определения элементов полумар-
ковской матрицы комплексного процесса. Показано, каким образом могут быть определе-
ны временные интервалы блужданий по комплексному полумарковскому процессу.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Характеризация чисел Фибоначчи
стр.259-271
В согласии с философско-математической мыслью ранних пифагорейцев, для задан-
ных отрезков ? и ? мог быть найден отрезок ?, содержащийся ровно ? раз в ? и ? раз
в ? при некоторых подходящих числах ? и ?. Справедливость этого положения была
подвергнута самими же пифагорейцами при обнаружении ими несоизмеримости стороны
и диагонали правильного пятиугольника. Это фундаментальное историческое открытие,
прославившие Пифагорейскую школу, оставило «забытым» предшествующий ему этап ис-
следований. Именно фаза поиска ?, начатая многочисленными неудачными попытками и
завершившаяся разработкой известной техники доказательства «чётное-нечётное», явля-
ется объектом нашей «творческой интерпритации» исследований Пифагора, которую мы
приводим в этой статье. В частности, будет выявлена сильная связь между пифагорей-
ским тождеством ?(? + ?) − ?2 = 0 относительно стороны ? и диагонали ? правильного
пятиугольника и тождеством Кассини ????+2 − ?2
?+1 = (−1)? для трех последователь-
ных чисел Фибоначчи. Более того, эти два тождества были обнаружены Пифагорейской
школой «почти одновременно», и, следовательно, числа Фибоначчи и тождество Кассини
имеют пифагорейское происхождение. Нам не известны архивные документы (уже столь
редкие для изучаемого периода!), касающиеся этого утверждения, но в статье приводятся
ряд математических заключений в его подтверждение. Приведенный в работе анализ дает
новую (и естественную) характеризацию чисел Фибоначчи, до сих пор отсутствующую в
литературе.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Интегралы и индикаторы субгармонических функций. I
стр.272-303
Малютин К. Г., Кабанко М. В., Малютина Т. И.
В первой части нашего исследования рассматриваются общие вопросы теории функ-
ций плотности и ?-полуаддитивных функций, которые часто используются в теории роста
целых и субгармонических функций и в других разделах математики. В теории функций
плотности важной и часто цитируемой является теорема Полиа о существовании макси-
мальной и минимальной плотности. Утвеpждение 3 теоpемы 6 или теоpему 7 статьи мож-
но pассматpивать как pаспpостpанение теоpемы Полиа на более шиpокий класс функций.
Функции плотности обладают некоторыми свойствами полуаддитивности. Некоторые во-
просы теории функций плотности и ?-полуаддитивных функций изложены в первой части
нашего исследования. Центральной здесь является теорема 23, касающаяся условий суще-
ствования в нуле производной ?-полуаддитивной функции и оценка интегралов
∫︀?
?
?(?) ??(?)
через функции плотности для функции ?. Отметим, что функция ? у нас, вообще говоря,
не является функцией распределения некоторой счетно-аддитивной меры и написанный
интеграл нужно понимать как интеграл Римана-Стилтьеса, а не как интеграл Лебега по
мере ?.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Слабо обратимые ?-квазигруппы
стр.304-318
Исследуются ?-квазигруппы (? > 3) со следующим свойством слабой обратимости. Ес-
ли на каких-то двух наборах из ? аргументов с одинаковыми началами, одинаковыми кон-
цами, но с различными оставшимися средними частями (одной длины) результат операции
одинаков, то при любых одинаковых началах (другой длины), при прежних средних частях
и при любых одинаковых концах (соответствующей длины) результат операции будет оди-
наков. Для таких ?-квазигрупп доказывается аналог теоремы Поста – Глускина – Хоссу,
которая сводит операцию ?-квазигруппы к групповой. Утверждаемое теоремой представ-
ление ?-квазигрупповой операции с помощью автоморфизма группы, как оказалось, имеет
место в более слабых (и вполне естественных) предположениях, нежели ассоциативность
и (?, ?)-ассоциативность, требовавшиеся ранее. Хорошо известные (?, ?)-ассоциативные ?-
квазигруппы удовлетворяют рассматриваемому условию слабой обратимости.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Вопросы суммирования арифметических функций, родственных функции Чебышева
стр.319-333
Деза Е. И., Варухина Л. В.
Многие вопросы теории чисел связаны с исследованием рядов Дирихле ?(?) =
∞Σ︀
?=1
???−?
и сумматорных функций Φ(?) =
Σ︀
?≤?
?? их коэффициентов. Наиболее известным примером
ряда Дирихле является дзета-функция Римана ?(?), определенная для любого комплекс-
ного числа ? = ? + ?? с действительной частью ℜ? = ? > 1 как ?(?) =
∞Σ︀
?=1
1
?? .
Квадрат дзета-функции ?2(?) =
∞Σ︀
?=1
?(?)
?? , ℜ? > 1, связян с функцией делителей
? (?) =
Σ︀
?|?
1, дающей число натуральных делителей натурального числа ?. Сумматор-
ной функцией ряда Дирихле ?2(?) является функция ?(?) =
Σ︀
?≤?
? (?), вопросы асимп-
тотической оценки которой известны как проблема делителей Дирихле. В общем случае,
??(?) =
∞Σ︀
?=1
??(?)
?? , ℜ? > 1, где функция ??(?) =
Σ︀
?=?1·...·??
1 дает число представлений
натурального числа ? в виде произведения ? натуральных сомножителей. Cумматорной
функцией ряда Дирихле ??(?) является функция ??(?) =
Σ︀
?≤?
??(?). Ее изучение - это
многомерная проблема делителей Дирихле.
Логарифмическая производная ?
′
(?)
?(?) дзета-функции представима в виде ?
′
(?)
?(?) =
= −
∞Σ︀
?=1
Λ(?)
?? , ℜ? > 1. Здесь Λ(?) - функция Мангольдта, которая определяется как
Λ(?) = log ?, если ? = ?? для простого ? и натурального ?, и как Λ(?) = 0, иначе. Та-
ким образом, функция Чебышева ?(?) =
Σ︀
?≤?
Λ(?) является сумматорной функцией коэф-
фициентов ряда Дирихле
∞Σ︀
?=1
Λ(?)
?? , соответствующего логарифмической производной ?
′
(?)
?(?)
дзета-функции Римана. Она хорошо известна в аналитической теории чисел и связана со
многими классическими задачами, прежде всего, с асимптотическим законом распреде-
ления простых чисел.
В частности, хорошо известно представление функции ?(?) по нулям дзета-функции:
?(?) = ? −
Σ︀
|ℑ?|≤?
??
? + ?
(︁
? ln2 ?
?
)︁
, где ? = ? + 0, 5, ? ∈ N, 2 ≤ ? ≤ ?, и ? = ? + ?? -
нетривиальные нули дзета-функции Римана, то есть нули ?(?), лежащие в критической
полосе 0 < ℜ? < 1.Мы получаем аналогичные представления, связанные с нетривиальными нулями дзета-
функции Римана, для двух арифметических функций, родственных функции Чебышева:
?1(?) =
Σ︁
?≤?
(? − ?)Λ(?) и ?2(?) =
Σ︁
?≤?
Λ(?) ln
?
?
.
Аналогичные результаты можно получить и для других функций, родственных функции
Чебышева, если использовать логарифмические производные ?-функций Дирихле.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Континуальные теоремы сложения для функций Мейера и Макдональда
стр.334-340
Нижников А. И., Муханов С. А.
Специальные функции математической физики составляют основу математического
аппарата в разнообразных областях анализа, прикладной математики, математической
физики и квантовой механики. Хотя анализу свойств специальных функций уделяется
традиционно большое внимание, тем не менее, огромное количество формул, часто эквива-
лентных или близких по структуре, а также большое разнообразие приемов, используемых
для их вывода, указывают на отсутствие единых начал в этой важной области анализа,
что создает определенные трудности как для систематизации известных свойств специ-
альных функций, так и для вывода новых соотношений. В связи с этим, использование
теоретико-группового подхода к изучению базисных функций неприводимых представле-
ний полупростых групп дает технически эффективный и удобный для приложений метод
вывода новых свойств, интегральных соотношений и континуальных теорем сложения для
специальных функций. В этой работе рассмотрены лишь вырожденные унитарные пред-
ставления группы О(3,1), построены функции на конусе, реализующие эти представления,
вычислены коэффициенты перехода между различными базисными функциями, отвеча-
ющими редукции группы Лоренца на различные подгруппы. В работе также показано,
что формулы, содержащие функции Мейера и Макдональда можно получить используя
представления группы Лоренца.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Н. М. Коробов и теория гиперболической дзета-функции решёток
стр.341-367
Реброва И. Ю., Кирилина А. В.
В работе продолжено исследование роли Н. М. Коробова в развитии теоретико-
числового метода в приближенном анализе.
Одно из центральных мест в теоретико-числовом методе в приближенном анализе зани-
мает метод оптимальных коэффициентов. Первый пример гиперболической дзета-функции
решёток появился в работах Н. М. Корбова и Н. С. Бахвалова в 1959 году как оценка по-
грешности интегрирования на классе ??
? с помощью квадратурных формул, построенных
на параллелепипедальных сетках.
В данной работе выделены 5 этапов-направлений в теории гиперболической дзета-
функции решёток.
Во-первых, это этап становления общей теории, который исторически занимает период
от 1959 года по 1990 год. За этот период Была построена теория квадратурных формул с
обобщёнными параллелепипедальными сетками и показано, что норма погрешности при-
ближенного интегрирования на классе ??
? либо равна гиперболической дзета-функции
решёток, случай целочисленной решётки, либо оценивается сверху через неё в случае про-
извольной решётки.
Второй этап начался в середине 90-х годов, когда появилось новое направление иссле-
дований гиперболической дзета-функции решёток как функции комплексного аргумента
? = ?+?? на метрическом пространстве решёток. Это направление продолжает развивать-
ся и по настоящее время.
Следующий этап, который тоже начался в середине 90-х годов был связан с рассмотре-
нием обобщённой гиперболической дзета-функции решёток, или другими словами гипер-
болической дзета-функции на сдинутых решётках.
Четвертый этап, который стал самостоятельным направлением исследований, начался
в конце 90-х, в начале 2000-х годов. Он связан с вопросом получения функционального
уравнения для аналитического продолжения гиперболической дзета-функции решёток.
Наконец, последнее новое направление этой теории логически возникшее из предыду-
щих связано с изучение дзета-функций моноидов натуральных чисел.
В работе раскрыта определяющая роль профессора Н. М. Коробова в становлении и
развитии теории гиперболической дзета-функции решёток.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Почти периодические функции и свойство универсальности L – функции Дирихле
стр.368-376
Кузнецов В. Н., Матвеева О. А.
Термин "универсальность"для функций был введен в начале 70-х годов Е.М. Ворони-
ным и смысл, который вкладывается в это понятие, заключается в том, что весьма общий
класс аналитическихческих функций допускает приближение вертикальными сдвигами
данной функции. В 1975 году С.М. Воронин доказал свойство универсальности для дзета-
функций Римана, а в 1977 году для L-функции Дирихле.
В данной работе предлогается доказательство свойства универсальности для L-
функций Дирихле отличное от доказательства С.М. Воронина, основанное на быстром
приближении в критической полосе L-функций Дирихле полиномами Дирихле.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Вполне разложимые однородные факторно делимые абелевы группы
стр.377-388
Гордеева Е. В., Фомин А. А.
Изучение абелевых групп без кручения конечного ранга было начато в работах Л.С.
Понтрягина [1], А.Г. Куроша [2], А.И. Мальцева [3], Д. Дерри [4], Р. Бэра [5], Р. Бьюмонта и
Р. Пирса [6,7]. В частности, Бьюмонт и Пирс в [6] ввели понятие факторно делимой группы
без кручения. Понятие факторно делимой группы было расширено на случай смешанных
групп в работе [8]. В этой же работе [8] было доказано, что категория смешанных факторно
делимых групп с квазигомоморфизмами является двойственной категории групп без кру-
чения конечного ранга также с квазигомоморфизмами. Новая версия категории [8] была
получена в [9, 10]. Категории групп с квазигомоморфизмами были заменены на категории
групп с отмеченными базисами и с обычными гомоморфизмами такими, что их матрицы
относительно отмеченных базисов состоят из целых чисел. Двойственность [8] была также
расширена в статье С. Бреаза и Ф. Шультца [11] на класс самомалых групп. Смешанные
факторно делимые группы, также как и самомалые группы, находятся в настоящее время
в фокусе внимания [12-35].
В данной статье мы доказываем две теоремы об однородных вполне разложимых фак-
торно делимых смешанных группах. В первой теореме мы показываем, что для любого
базиса такой группы существует разложение этой группы в прямую сумму групп ранга 1
такое, что элементы данного базиса сами являются базисами в соответствующих группах
ранга 1. Более того, для любых двух базисов такие разложения изоморфны. Во второй
теореме мы показываем, что любая точная последовательность смешанных факторно де-
лимых групп 0 → ? → ? → ? → 0 расщепляется, если группа ? является однородной
вполне разложимой. Эта теорема является дуализацией следующего классического ре-
зультата Бэра. Любая сервантная подгруппа однородной вполне разложимой группы без
кручения конечного ранга выделяется прямым слагаемым в этой группе.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Об истории оценок константы наилучших совместных диофантовых приближений
стр.389-406
В данной работе проводится исторический обзор результатов по проблеме оценки кон-
станты наилучших совместных диофантовых приближений для ? действительных чисел.
Эта проблема является частным случаем более общей проблемы приближения ? действи-
тельных линейных форм и имеет свою богатую историю, восходящую к П. Г. Дирихле.
Мы в большей степени остановимся на подходе Г. Дэвенпорта, основанном на связи дио-
фантовых приближений с геометрией чисел.
В первой части дается обзор результатов, полученных для ? = 1 и ? = 2 действи-
тельных чисел. Исторически, в основе оценок для ? = 1 лежит теория цепных дробей, и
наиболее значимой является оценка А. Гурвица, полученная им в 1891 году. Для ? = 2
в основе известных оценок лежит математический аппарат линейной алгебры (Ф. Фурт-
венглер), геометрия чесел (Г. Дэвенпорт, Дж. В. С. Касселс) и результаты многомерных
обобщений цепных дробей (В. Адамс, Т. Кьюзик).
Вторая часть посвящена одной из первых общих оценок снизу, полученной в 1929 году
Ф. Фуртвенглером. Он построил оценки дискриминантов алгебраических полей, которые
приводят к оценке качества приближения ? действительных чисел рациональными, что в
свою очередь приводит в оценке константы наилучших совместных диофантовых прибли-
жений.
В третьей часть изложена наиболее фундаментальная из известных на данный момент
оценок, полученная Г. Дэвенпортом, а затем доработанная Дж. В. С. Касселсом. Г. Дэвен-
порт обнаружил связь между значением критического определителя решеток и оценкой
некоторых форм. В частном случае, это позволяет вычислив критический определитель
специальной решетки, получить значение константы наилучших совместных диофанто-
вых приближений. Однако, вычисление критических определителей для решеток такого
вида является сложной задачей. Поэтому Дж. В. С. Касселс перешел от непосредственно-
го вычисления критического определителя, к оценке его значения. Этот подход оказался
достаточно плодотворным, позволив получить оценки константы наилучших совместных
диофантовых приближений для ? = 2, 3, 4.
В четвертой части дается обзор известных оценок снизу для ? > 2. Эти результаты ос-
нованы на использовании вышеупомянутого подхода Дж. В. С. Касселса. Стоит отметить,
что оценки такого рода являются достаточно сложной вычислительной задачей, и в каж-
дом отдельном случае решение такой задачи требовало использования новых подходов.
В последней части мы приведем обзор некотрых известных оценок константы наи-
лучших диофантовых приближений сверху. Хотя данная проблема не является основной
темой данной статьи, значительный интерес представляет сравнение подходов при оцен-
ки константы наилучших совместных диофантовых приближений сверху и снизу. Первая
оценка сверху была получена Г. Минковским в 1896 году с ипользованием геометрии чисел.
Г. Ф. Блихфельдт введя понятие фундаметального параллелепипеда в 1914 году улучшил результат Г. Минковского. Позднее подход Г. Ф. Блихфельдта получил развитие в работах
П. Мюллендера, В. Спона, В. Г. Новака.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Аналог теоремы А. Ордина для параллелоэдров
стр.407-420
Параллелоэдр - это выпуклый многогранник в аффинном пространстве, сдвиги кото-
рого на векторы некоторой дискретной решетки ? заполняют все пространство без зазоров
и пересечений по внутренним точкам. Частным случаем параллелоэдра является ячейка
Дирихле-Вороного решетки относительно метрики, порожденной положительной квадра-
тичной формой. Более 100 лет назад Г. Вороной предположил, что всякий параллелоэдр
есть ячейка Дирихле-Вороного своей решетки относительно некоторой метрики.
А. Ордин ввел понятия неприводимой грани и ?-неприводимого параллелоэдра, у ко-
торого все грани коразмерности ? неприводимы. Разбиение на параллелоэдры называется
?-неприводимым, если его параллелоэдры ?-неприводимы. Он доказал гипотезу Вороного
для 4-неприводимого параллелоэдров.
С каждой фасетой ? параллелодра связано два вектора: фасетный вектор ?? решетки
? разбиения ? на параллелоэдры и нормальный вектор ?? фасеты ?. Фасетные векто-
ры целочисленно порождают решетку ?. Одна из форм знаменитой гипотезы Вороного
утверждает, что существуют такие параметры ?(?), что нормированные (канонические)
нормальные векторы ?(?)?? целочисленно порождают решетку Λ. В этой статье опреде-
ляются однозначно нормируемые грани ? как грани, определяющие однозначно с точно-
стью до общего множителя параметры ?(?) всех фасет разбиения ? , содержащих грань ?.
Разбиение, все грани которого коразмерности ? однозначно нормируемы, ?-неприводимо.
Доказывается следующий аналог теоремы А. Ордина: каноническая нормировка фасет
разбиения ? существует, если для некоторого целого ? > 1 все его грани коразмерностей ?
и ?+1 однозначно нормируемы. Случаи ? = 2 и ? = 3 соответствуют 2- и 3-неприводимым
разбиениям, в смысле А. Ордина.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
О расширенном алгоритме Джебелеана–Вебера–Седжелмаси вычисления наибольшего общего делителя
стр.421-431
Существует большое количество различных алгоритмов вычисления Н.О.Д. Преж-
де всего стоит отметить алгоритмы типа Шонхаге. Они используются для очень боль-
ших чисел и имеют наилучшую асимптотическую сложность в худшем случае —
?(? log2(?) log(log(?))). Для чисел поменьше используются обобщенный бинарные ал-
горитмы. Все они основаны на ?-арной редукции: ? gcd(?, ?) = gcd(?, |??±??|
? ), целые
? > ? > 0, gcd(?, ?) = gcd(?, ?) = 1, ? > 1. Знак + или − ставится в зависимости от версии
выбранного алгоритма. Основная задача — подобрать коэффициенты ?, ? таким образом,
чтобы выполнялось ??+?? = 0 mod ?. Число ? обычно выбирают равным простому числу
или степени простого числа. Недостаток алгоритмов в том, что в ходе вычислений могут
накапливаться дополнительные множители, поэтому в рекуррентном соотношении в на-
чале стоит множитель ? > 1. Если ? = 2?, то получаем обобщенные бинарные алгоритмы.
Вебер первым предложил алгоритм поиска коэффициентов на основе подаваемых чисел,
его обобщенный бинарный алгоритм работает в пять раз быстрее, чем бинарный алгоритм.
Седжелмаси модифицировал алгоритм Джебелеана-Вебера, избавив его от дополнитель-
ных множителей, асимптотическая сложность алгоритма в худшем случае — ?(?2/ log(?)).
Коэффициенты Безу — представление Н.О.Д. ? чисел ?,? в виде линейной комбина-
ции ?? + ?? = ?, где ? и ? — целые числа, называемые коэффициентами Безу. В этой
статье предложен расширенный алгоритм Джебелеана–Вебера–Седжелмаси вычисления
Н.О.Д двух натуральных чисел, выводятся необходимые формулы и приводятся примеры,
показывающие как можно вычислять обратные элементы.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Пользовательские рекурсивные функции в Maxima
стр.432-446
Есаян А. Р., Добровольский Н. М.
Мы рассмотрим проблему деления прямоугольного параллелепипеда на конечное число
непересекающихся кубов для некоторых жадных алгоритмов. Сформулированные задачи
решаются серией блок-функций с прямой и косвенной (взаимной) рекурсией, написанных
на языке программирования свободной программной системы Maxima. Все построенные
функции проверяются контрольными вычислениями. Заметим, что на попарно различные
кубы разделить прямоугольный параллелепипед невозможно.
Язык программирования системы Maxima используется исходя из следующих сооб-
ражений. Постановки решаемых в данной статье задач вполне понятны и студенту, и
школьнику. С рекурсией они также знакомы. Так что дело лишь в выборе языка про-
граммирования для реализации предлагаемых алгоритмов. И здесь язык системы Maxima
вполне уместен. Дело в том, что в последнее время школы и вузы по многим причинам из
многочисленных математических пакетов вынуждены выбирать для использования сво-
бодно распространяемое программное обеспечение. Лидерами среди таких пакетов являют-
ся кроссплатформенные системы Maxima и GeoGebra. Поэтому разговор об особенностях
создания пользовательских рекурсивных функций на языке программирования Maxima
своевременен и полезен.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
О разбиениях усечённого икосаэдра на паркетогранники
стр.447-476
Карпова Е. С., Тимофеенко А. В.
Изучение паркетогранников началось сразу после завершения классификации выпук-
лых многогранников с правильными гранями полвека назад. Паркетогранником назовём
выпуклый многогранник, обладающий правильными или паркетными гранями. Напомним,
паркетным называется выпуклый многоугольник, составленный из конечного и большего
единицы числа равноугольных многоугольников. Паркетные многоугольники классифи-
цированы: существует 23 их типа. Четыре из них могут быть представлены правильными
многоугольниками, а ещё пять имеют равносторонние представители, составленные так из
правильных многоугольников, что каждая вершина такого правильного многоугольника
служит и вершиной паркетного. Около десяти лет назад стали известны с точностью до
подобия все паркетогранники, которые кроме правильных могут обладать и указанными
пятью паркетными гранями. Выдвинута гипотеза, приводящая нахождению всех равно-
рёберных паркетогранников. Без рассмотрения соединений по однотипным граням невоз-
можно получить все типы паркетогранников, т.е. закрыть основную проблему: ”Каковы все
типы паркетогранников?” В настоящей работе рассмотрена часть требуемых для решения
этой проблемы соединений правильногранной пятиугольной пирамиды ?3 с единичными
рёбрами, усечённой по средним линиям боковых треугольных граней пирамиды ?3?, тел
?19? и?19?, полученных из усечённого икосаэдра ?19 отсечением двух и трёх семигранни-
ков?3? соответственно. Рёбра трёх последних тел и рёбра соединений имеют длины один и
два. В настоящее время этот результат может представлять самостоятельный интерес для
квазикристаллографии. В частности, архимедово тело ?19 с правильными пятиугольни-
ком и двумя шестиугольниками в каждой вершине является представителем фуллеренов.
Кроме того, объём уже сделанных вычислений показывает необходимость привлечения в
существенно больших масштабах программирования и компьютерной
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Об алгоритмических проблемах в обобщенных древесных структурах групп Кокстера
стр.477-490
К основным алгоритмическим проблемам в теории групп, поставленным М. Дэном,
относятся проблемы равенства, сопряженности слов в конечно определенных группах, а
также проблема изоморфизма групп.
П. С. Новиков доказал неразрешимость основных алгоритмических проблем в классе
конечно определенных групп. Поэтому алгоритмические проблемы изучаюся в конкретных
группах.
Группы Кокстера введены Х. С. М. Кокстером: всякая группа отражений является
группой Кокстера, если в качестве образующих взять отражения относительно гиперплос-
костей, ограничивающих ее фундаментальный многогранник. Х. Кокстер перечислил все
группы отражений в трехмерном евклидовом пространстве и доказал, что все они являют-
ся группами Кокстера, а всякая конечная группа Кокстера изоморфна некоторой группе
отражений в трехмерном евклидовом пространстве, элементы которой имеют общую непо-
движную точку.
Ж. Титс в своих работах изучал группы Кокстера в алгебраическом аспекте, им решена
проблема равенства слов в данных группах.
Известно, что в группах Кокстера разрешима проблема сопряженности слов и нераз-
решима проблема вхождения.
К. Аппелем и П. Шуппом определен класс групп Кокстера экстрабольшого типа. Груп-
пы данного класса являются гиперболическими.
Группы Кокстера с древесной структурой введены В. Н. Безверхним. В графе, соответ-
ствующем группе Кокстера, всегда можно выделить максимальный подграф, соответству-
ющий группе Кокстера с древесной структурой. В данном классе групп В. Н. Безверхним
и О. В. Инченко решен ряд алгоритмических проблем.
В статье доказывается алгоритмическая разрешимость проблем корня и степенной со-
пряженности слов в обобщенных древесных структурах групп Кокстера, представляющих
собой древесные произведения групп Кокстера экстрабольшого типа и групп Кокстера с
древесной структурой.
В доказательстве основных результатов используется метод диаграмм, введенный ван
Кампеном, переоткрытый Р. Линдоном и усовершенствованный В. Н. Безверхним.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Выпуклые многогранники с дельтоидными вершинами
стр.491-500
В статье вводится класс замкнутых выпуклых симметричных многогранников в ?3 со
специальным строением некоторых вершин: множество ????(? ) всех граней, инцидентных
таким вершинам, состоит из равных между собой дельтоидов. Такие вершины называют-
ся в работе дельтоидными. Дельтоиды здесь — это выпуклые четырёхугольники, обла-
дающие двумя парами равных смежных сторон и отличные от ромбов. Предполагается
также, что каждая дельтоидная вершина ? многогранника и каждая грань, не входящая
в звезду какой-либо дельтоидной вершины, локально симметричны. Локальная симмет-
ричность вершины означает, что через ? проходит ось вращения ?? порядка ? фигуры
? = ????(????(? )), где ? — число дельтоидов в ????(? ); ? представляет собой множество
граней, состоящих из множества ????(? ) и всех граней, имеющих хотя бы одну общую
вершину с множеством ????(? ). Локальная симметричность грани ? означает, что ось
вращения ?? , пересекающая относительную внутренность ? и перпендикулярная ?, яв-
ляется осью вращения звезды ????(?).
?? — это обозначение класса многогранников, у которых существуют локально сим-
метричные дельтоидные вершины и существуют грани, не входящие ни в одну звезду
дельтоидных вершин; кроме того, все грани, не входящие ни в одну звезду дельтоидных
вершин, являются локально симметричными.
В статье доказана теорема о полном перечислении многогранников класса ??, у ко-
торых все дельтоидные вершины изолированы. Изолированность, или отделённость, вер-
шины ? означает, что что её звезда граней не имеет общих элементов со звездой любой
другой вершины многогранника.
В работе рассмотрены также многогранники, через каждую вершину ? которых про-
ходит ось вращения звезды ????(? ), причём ? не предполагается дельтоидной заранее;
если у таких многогранников существует хотя бы одна дельтоидная грань, то таких мно-
гогранников только три.
Доказательства утверждений в работе основаны на свойствах так называемых сильно
симметричных многогранников. А именно, многогранников, сильно симметричных отно-
сительно вращения граней.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Подстановки и множества ограниченного остатка
стр.501-522
Работа посвящена многомерной проблеме распределения дробных долей линейной
функции. Подмножество многомерного тора называется множеством ограниченного остат-
ка, если остаточный член многомерной проблемы распределения дробных долей линейной
функции на этом множестве ограничен абсолютной константой. Интерес представляют не
только отдельные множества ограниченного остатка, но и разбиения тора на такие мно-
жества.
В работе введен новый класс разбиений ?-мерного тора на множества (? + 1) типа –
обобщенные перекладывающиеся разбиения, описанный в комбинаторно-геометрических
терминах. Показано, что все разбиения из этого класса состоят из множеств ограничен-
ного остатка. Соответствующая оценка остаточного члена является эффективной. Также
найдены условия, при которых оценка остаточного члена для последовательности обоб-
щенных перекладывающихся разбиений тора не зависит от конкретного разбиения в по-
следовательности.
На основе теории геометрических подстановок Арно-Ито введен новый класс обоб-
щенных перекладывающихся разбиений многомерных торов на множества ограниченного
остатка с эффективной оценкой остаточного члена. Ранее аналогичные результаты были
получены в двумерном случае для одной конкретной подстановки - геометрического вари-
анта хорошо известной подстановки Рози. При помощи предельного перехода построен еще
один класс обобщенных перекладывающихся разбиений тора на множества ограниченного
остатка с фрактальными границами (так называемые обобщенные фракталы Рози).
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Об оценке среднего значения остатка в асимптотической формуле для суммы значений арифметической функции на последовательности Битти
стр.523-528
Бегунц А. В., Горяшин Д. В.
Заметка посвящена оценке среднего значения величин Δ(?,?) = Δ(?, 0,?) и
Δ(?, ?,?) относительно ? > 1 и 0 < ? < ? соответственно, где Δ(?, ?,?) — остаточ-
ный член в формуле вида
Σ︁
?6?
?([?? + ?]) =
1
?
Σ︁
?6??+?
?(?) + Δ(?, ?,?),
для произвольной арифметической функции ?(?).
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
Об одном варианте теоремы Мертенса
стр.529-532
Доказана теорема о сходимости произведения абсолютно и условно сходящихся рядов,
которое определяется через дискретный интеграл в смысле Н.В.Бугаева. Даны теоретико-
числовые примеры, иллюстрирующие эту теорему.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
+
К истории влияния теоремы Милютина на исследования в геометрии пространств Банаха
стр.533-541
Обозначим через ?(?) (? — банахово пространство; ? — метрический компакт) про-
странство всех непрерывных отображений компакта ? в ? с sup-нормой.
Тогда ?(?) — банахово пространство. Если Е есть вещественная ось, то будем ?(?)
обозначать через ?(?). А. А. Милютиным доказана следующая теорема.
Если ?1 и ?2 — метрические компакты континуальной мощности, ? — банахово про-
странство, то ?(?1) изоморфно ?(?2).
А. А. Милютин, не зная об этом, в 1951 году решил знаменитую проблему Банаха:
будут ли изоморфны пространства непрерывных функций на отрезке и на квадрате.
Среди работ, по духу близких исследованиям А. А. Милютина, можно назвать рабо-
ты М. И. Кадеца, доказавшего топологическую эквивалентность всех бесконечномерных
сепарабельных банаховых пространств. Одно из важных направлений функционального
анализа — геометрия банаховых пространств. «Метод эквивалентных норм» заключается
в возможности введения в банаховом пространстве эквивалентной нормы, обладающей тем
или иным «хорошим» свойством. Теория эквивалентных норм для банаховых пространств
?(?) непрерывных функций на метрических компактах есть следствие теоремы Милю-
тина и теории сепарабельных пространств Банаха. Для случая неметризуемых компактов
теория далека от завершения.
Общей теории этих компактов нет и мало что известно о пространствах ?(?) для
неметризуемых компактов с первой аксиомой счетности. Теорема Милютина повлияла на
исследования в этом направлении. Основной же целью работы является анализ влияния
теоремы Милютина на развитие теории пространств Банаха, особенно в одном из важных
направлений функционального анализа – теории эквивалентных норм в геометрии банахо-
вых пространств. В статье приводятся результаты, полученные учениками М. И. Кадеца
для неметризуемых компактов с первой аксиомой счетности, в том числе результаты по-
лученные автором и другими математиками.
Загружаем данные из библиотечной системы...
Ключевые слова
